已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|−|PN|＝22．记动点P的轨迹为W．若A，B是W上的不同两点
已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|−|PN|＝2
．记动点P的轨迹为W．若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点．
（1）求W的方程；
（2）若AB的斜率为2，求证
•
为定值．
（3）求
•
的最小值．
| 2 |
（1）求W的方程；
（2）若AB的斜率为2，求证
| OA |
| OB |
（3）求
| OA |
| OB |
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（1）据题意应为双曲线一支，
c＝2，a＝
2，
∴曲线方程为x2-y2=2（x≥
2）．（2分）
（2）设AB：y=2x+b，
将其代入x2-y2=2，得3x2+4bx+b2+2=0…（1）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1，x2为（1）的两根．x1+x2＝−
4b
3，x1x2＝
b2+2
3，
OA•
OB＝x1x2+y1y2＝x1x2+(2x1+b)(2x2+b)＝5x1x2+2b(x1+x2)+b2
=5•
b2+2
3+2b•(−
4b
3)+b2＝
10
3，是定值．（8分）
（3）法一：当直线AB的斜率不存在时，
设直线AB的方程为x=x0，
此时A（x0，
x20−2），B（x0，-
c＝2，a＝
2，
∴曲线方程为x2-y2=2（x≥
2）．（2分）
（2）设AB：y=2x+b，
将其代入x2-y2=2，得3x2+4bx+b2+2=0…（1）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1，x2为（1）的两根．x1+x2＝−
4b
3，x1x2＝
b2+2
3，
OA•
OB＝x1x2+y1y2＝x1x2+(2x1+b)(2x2+b)＝5x1x2+2b(x1+x2)+b2
=5•
b2+2
3+2b•(−
4b
3)+b2＝
10
3，是定值．（8分）
（3）法一：当直线AB的斜率不存在时，
设直线AB的方程为x=x0，
此时A（x0，
x20−2），B（x0，-
1年前
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