（2011•浙江）如图，设P是抛物线C1：x2=y上的动点．过点P做圆C2：x2+（y+3）2=1的两条切线，交直线l：

解题思路：（Ⅰ）先求出抛物线 C₁准线的方程，再利用点到直线距离的求法求出C₂的圆心M到抛物线 C₁准线的距离即可．
（Ⅱ）先设抛物线 C₁在点P处的切线交直线l于点D，线段AB被抛物线C₁在点P处的切线平分即为x_A+x_B=2X_D．设出过点P做圆C₂x²+（y+3）²=1的两条切线PA，PB，与直线y=-3联立，分别求出A，B，D三点的横坐标，代入x_A+x_B=2X_D．看是否能解出点P，即可判断出是否存在点P，使线段AB被抛物线C₁在点P处的切线平分．

（Ⅰ）因为抛物线 C₁准线的方程为：y=-[1/4]，
所以圆心M到抛物线 C₁准线的距离为：|-[1/4]-（-3）|=[11/4]．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x₀，x₀²），抛物线 C₁在点P处的切线交直线l与点D，
因为：y=x²，所以：y′=2x；
再设A，B，D的横坐标分别为x_A，x_B，x_D，
∴过点P（x₀，x₀²）的抛物线 C₁的切线的斜率k=2x₀．
过点P（x₀，x₀²）的抛物线 C₁的切线方程为：y-x₀²=2x₀（x-x₀） ①
当 x₀=1时，过点P（1，1）且与圆C₂相切的切线PA方程为：y-1=[15/8]（x-1）．可得x_A=-[17/15]，x_B=1，x_D=-1，x_A+x_B≠2x_D．
当x₀=-1时，过点P（-1，1）且与圆C₂的相切的切线PB的方程为：y-1=-[15/8]（x+1）．可得x_A=-1，x_B=[17/15]，x_D=1，x_A+x_B≠2x_D．
所以x₀²-1≠0．设切线PA，PB的斜率为k₁，k₂，
则：PA：y-x₀²=k₁（x-x₀） ②
PB：y-x₀²=k₂（x-x₀）．③
将y=-3分别代入①，②，③得xD＝
x02−3
2x0（x₀≠0）；xA＝x0−
x02+3
k1；xB＝x0−
x02+3
k2（k₁，k₂≠0）
从而xA+xB＝2x0−(x02+3)(
1
k1+
1
k2)．
又
|−x0k1+x02+3|

点评：
本题考点： 圆锥曲线的综合；抽象函数及其应用；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题是对椭圆与抛物线，以及直线与椭圆和抛物线位置关系的综合考查．在圆锥曲线的三种常见曲线中，抛物线是最容易的，而双曲线是最复杂的，所以一般出大题时，要么是单独的椭圆与直线，要么是椭圆与抛物线，直线相结合．这一类型题目，是大题中比较有难度的题．