已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3

（Ⅰ）由2f（x）≥g（x），
得2xlnx≥-x²+ax-3，
由于x＞0，
则a≤
x2+3+2xlnx
x，
设h(x)＝
x2+3+2xlnx
x，
h′(x)＝
x2+2x−3
x2=
(x+3)(x−1)
x2，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
因而h（1）最小为4，那么a≤4．
（II） 证明：设φ（x）=[x
ex−
2/e]，由已知f(x1)≥
x2
ex2−
2
e，
等价于f（x）的最小值不小于φ（x）的最大值，
由f′（x）=lnx+1=0时，x＝
1
e，
知f（x）的最小值为f（[1/e]）=-[1/e]．
∅′（x）=
ex−xex
e2x =0时，x=1，∅（x）的最大值为∅（1）=-[1/e]．
因而xlnx＞
x
ex−
2
e，从而对∀x₁，x₂∈（0，+∞）时，
f(x1)≥
x2
ex2−
2
e．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．

1年前

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