（2009•荆州）如图①，已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形（菱形ABCD与菱形EFGH的
（2009•荆州）如图①，已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形（菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2：1），∠BAD=120°，对角线均在坐标轴上，抛物线y=
x2经过AD的中点M．
（1）填空：A点坐标为，D点坐标为；
（2）操作：如图②，固定菱形ABCD，将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转α度角（0°＜α＜90°），并延长OE交AD于P，延长OH交CD于Q．
探究1：在旋转的过程中是否存在某一角度α，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出α的值；若不存在，说明理由；
探究2：设AP=x，四边形OPDQ的面积为s，求s与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围．
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（1）填空：A点坐标为，D点坐标为；
（2）操作：如图②，固定菱形ABCD，将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转α度角（0°＜α＜90°），并延长OE交AD于P，延长OH交CD于Q．
探究1：在旋转的过程中是否存在某一角度α，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出α的值；若不存在，说明理由；
探究2：设AP=x，四边形OPDQ的面积为s，求s与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围．
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（1）由题意得
A（0，2），D（2
3，0）．
（2）探究1：当α=60°时，四边形AFEP是平行四边形．
理由如下：
∵两菱形的位似比为2﹕1，OA=2，OD=2
3，菱形ABCD边长为4，∠BAO=60°
∴菱形EFGH的边长EF=
1
2AD=2，∠FEO=60°
∵在旋转过程中EF的长和∠FEO的大小始终不变
∴当射线OE旋转到经过M点时，P与M重合，AM=AP=2
△AOP为等边三角形，∠APO=∠AOP=60°
那么，∠APO=∠FEO=60°，则EF∥AP
又∵EF=AM=2
∴当旋转角度α=∠AOP=60°时，EF平行且等于AP
∴α=60°时，四边形AFEP为平行四边形．
探究2：过P点作PR⊥y轴于R，过Q作QT⊥x轴于T，
设TQ=y，
则：PR=AP•sin60°=
3
2x，
OR=OA-AR=2-AP•cos60°=2-
1
2x，
OT=OD-DT=2
3-TQ•tan60°=2
3-
3y
∵它绕对称中心O旋转时∠POR=∠QOT
∴Rt△POR∽Rt△QOT
∴
PR
OR＝
QT
OT
∴
3
2x
2−
1
2x＝
y
2
3−
3y，
化简得：y=
3x
x+2
∴S=S△OPD+S△ODQ=
1
2×2
3（2-
1
2x）+
1
2×2
3×
3x
x+2
=2
3-
3
2x+
3
3x
x+2．
即S与x的函数关系式为：S=2
3-
3
2x+
3
3x
x+2．（0＜x＜4）
A（0，2），D（2
3，0）．
（2）探究1：当α=60°时，四边形AFEP是平行四边形．
理由如下：
∵两菱形的位似比为2﹕1，OA=2，OD=2
3，菱形ABCD边长为4，∠BAO=60°
∴菱形EFGH的边长EF=
1
2AD=2，∠FEO=60°
∵在旋转过程中EF的长和∠FEO的大小始终不变
∴当射线OE旋转到经过M点时，P与M重合，AM=AP=2
△AOP为等边三角形，∠APO=∠AOP=60°
那么，∠APO=∠FEO=60°，则EF∥AP
又∵EF=AM=2
∴当旋转角度α=∠AOP=60°时，EF平行且等于AP
∴α=60°时，四边形AFEP为平行四边形．
探究2：过P点作PR⊥y轴于R，过Q作QT⊥x轴于T，
设TQ=y，则：PR=AP•sin60°=
3
2x，
OR=OA-AR=2-AP•cos60°=2-
1
2x，
OT=OD-DT=2
3-TQ•tan60°=2
3-
3y
∵它绕对称中心O旋转时∠POR=∠QOT
∴Rt△POR∽Rt△QOT
∴
PR
OR＝
QT
OT
∴
3
2x
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2x＝
y
2
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3y，
化简得：y=
3x
x+2
∴S=S△OPD+S△ODQ=
1
2×2
3（2-
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2x）+
1
2×2
3×
3x
x+2
=2
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2x+
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x+2．
即S与x的函数关系式为：S=2
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2x+
3
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x+2．（0＜x＜4）
1年前
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