二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a，b∈R，a≠0）满足条件：

（1）∵f（x）的对称轴为x=-1，
∴ -
b
2a =-1，即b=2a…（1分）
又f（1）=1，即a+b+c=1…（2分）
由条件③知：a＞0，且
4ac- b 2
4a =0 ，即b ² =4ac…（3分）
由上可求得 a=
1
4 ，b=
1
2 ，c=
1
4 …（4分）
∴ f(x)=
1
4 x 2 +
1
2 x+
1
4 …（5分）
（2）由（1）知： f(x)=
1
4 (x+1 ) 2 ，图象开口向上．
而y=f（x+t）的图象是由y=f（x）平移t个单位得到，要x∈[1，m]时，f（x+t）≤x
即y=f（x+t）的图象在y=x的图象的下方，且m最大．…（7分）
∴1，m应该是y=f（x+t）与y=x的交点横坐标，…（8分）
即1，m是
1
4 (x+t+1 ) 2 =x 的两根，…（9分）
由1是
1
4 (x+t+1 ) 2 =x 的一个根，得（t+2） ² =4，解得t=0，或t=-4…（11分）
把t=0代入原方程得x ₁ =x ₂ =1（这与m＞1矛盾）…（12分）
把t=-4代入原方程得x ² -10x+9=0，解得x ₁ =1，x ₂ =9∴
m=9…（13分）
综上知：m的最大值为9．…（14分）