已知点A(4m,0)、B(m,0)(m>0),动点P满足向量|AB|乘向量|AP|=6m|PB|.

1）记P(x0,y0),那么AP=(x0-4m,y0),PB=(m-x0,-y0)
由已知有：3m×√[(x0-4m)²+(y0)²]=6m×√[(m-x0)²+(-y0)²]
化简得到：(x0)²+(y0)²=(2m)²
所以P的轨迹C：x²+y²=(2m)²,是一个圆心在原点,半径2m的圆.
2）由前一问结论设Q(2mcosθ,2msinθ),所以直线i过两点Q和F,那么其斜率k为：
k=2msinθ/(2mcosθ+m)=2sinθ/(2cosθ+1)
所以得到方程i：y=k(x+m)
得到M点坐标：(0,mk),即M(0,2msinθ/(2cosθ+1))
MQ=(2mcosθ,4msinθcosθ/(2cosθ+1))
QF=(-2mcosθ-m,-2msinθ)
根据向量平行的条件有：
2mcosθ=2×-2mcosθ-m
4msinθcosθ/(2cosθ+1)=2×-2msinθ
上面两式有相同的cosθ=-1/3
sinθ=±(2√2)/3
代入k的等式得到：k=±4√2

若向量MQ=2向量QF，有问题吧？

已知点A(4m，0)、B(m，0)(m>0)，动点P满足向量|AB|乘向量|AP|=6m|PB|。
1、 求P的轨迹方程
由题意得|AP|=2|PB|，设P(x,y)，得P的轨迹方程为x^2+y^2=4m^2。
2、若Q是(1)中轨迹C上一点，过点Q的直线i交x轴于点F(-m，0)交y轴于M，若向量MQ=2向量QF，求直线i的斜率
依题意可知，直线i的斜率一定存在，...

1 轨迹方程(x-2m/5)²+y²=46m/25