设数列{a n }的前n项和为S n ，且方程x 2 －a n x－a n ＝0有一根为S n －1，n＝1,2,3，…
| 设数列{a n }的前n项和为S n ，且方程x 2 －a n x－a n ＝0有一根为S n －1，n＝1,2,3，…. (1)求a 1 ，a 2 ； (2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出严格的证明． |
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(1) a 1 ＝
. a 2 ＝
(2)猜想S n ＝
，n＝1,2,3，….
(1)先令n=1，则s 1 -1即a 1 -1是方程的一个根，因而建立关于a 1 的方程求出a 1 的值.同理再利用n=2时，求出a 2 .
(2)由条件可知(S n －1) 2 －a n (S n －1)－a n ＝0,化简得S－2S n ＋1－a n S n ＝0,
然后利用n≥2时，a n ＝S n －S n －1 ,把a n 代入上式，消去a n ,就找到了s n 与s n-1 之间的递推关系，求出s 1 ,s 2 ,s 3 ,然后观察规律，归纳出s n ,再利用数学归纳法证明即可
(1)当n＝1时，x 2 －a 1 x－a 1 ＝0有一根为S 1 －1＝a 1 －1，于是(a 1 －1) 2 －a 1 (a 1 －1)－a 1 ＝0，解得a 1 ＝ . 当n＝2时，x 2 －a 2 x－a 2 ＝0有一根为S 2 －1＝a 2 － ， 于是(a 2 － ) 2 －a 2 (a 2 － )－a 2 ＝0，解得a 2 ＝
(2)由题设(S n －1) 2 －a n (S n －1)－a n ＝0，S－2S n ＋1－a n S n ＝0.当n≥2时，a n ＝S n －S n －1 ，
代入上式得S n －1 S n －2S n ＋1＝0.①由(1)得S 1 ＝a 1 ＝ ，S 2 ＝a 1 ＋a 2 ＝ ＋ ＝
.
由①可得S 3 ＝
.由此猜想S n ＝ ，n＝1,2,3，….
下面用数学归纳法证明这个结论．
(i)n＝1时已知结论成立．
(ii)假设n＝k时结论成立，即S k ＝
，当n＝k＋1时，由①得S k ＋1 ＝
，即S k ＋1 ＝
，故n＝k＋1时结论也成立．
综上，由(i)、(ii)可知S n ＝ 对所有正整数n都成立．
. a 2 ＝
(2)猜想S n ＝
，n＝1,2,3，…. (1)先令n=1，则s 1 -1即a 1 -1是方程的一个根，因而建立关于a 1 的方程求出a 1 的值.同理再利用n=2时，求出a 2 .
(2)由条件可知(S n －1) 2 －a n (S n －1)－a n ＝0,化简得S－2S n ＋1－a n S n ＝0,
然后利用n≥2时，a n ＝S n －S n －1 ,把a n 代入上式，消去a n ,就找到了s n 与s n-1 之间的递推关系，求出s 1 ,s 2 ,s 3 ,然后观察规律，归纳出s n ,再利用数学归纳法证明即可
(1)当n＝1时，x 2 －a 1 x－a 1 ＝0有一根为S 1 －1＝a 1 －1，于是(a 1 －1) 2 －a 1 (a 1 －1)－a 1 ＝0，解得a 1 ＝
. 当n＝2时，x 2 －a 2 x－a 2 ＝0有一根为S 2 －1＝a 2 － ， 于是(a 2 － ) 2 －a 2 (a 2 － )－a 2 ＝0，解得a 2 ＝ (2)由题设(S n －1) 2 －a n (S n －1)－a n ＝0，S－2S n ＋1－a n S n ＝0.当n≥2时，a n ＝S n －S n －1 ，
代入上式得S n －1 S n －2S n ＋1＝0.①由(1)得S 1 ＝a 1 ＝
，S 2 ＝a 1 ＋a 2 ＝ ＋ ＝
.由①可得S 3 ＝
.由此猜想S n ＝ ，n＝1,2,3，….下面用数学归纳法证明这个结论．
(i)n＝1时已知结论成立．
(ii)假设n＝k时结论成立，即S k ＝
，当n＝k＋1时，由①得S k ＋1 ＝
，即S k ＋1 ＝
，故n＝k＋1时结论也成立． 综上，由(i)、(ii)可知S n ＝
对所有正整数n都成立．
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