已知函数f(x)＝2(ln1+x+12x2)−ax，其中a为常数．

（1）根据题意，函数f(x)＝2(ln
1+x+
1
2x2)−ax在（0，1）上单调递增，
则f′（x）=2x-a+[1/x+1]≥0在（0，1）上恒成立；
即2x+[1/x+1]≥a在（0，1）上恒成立，
令t=2x+[1/x+1]，则t′=1+（[1/x+1]）′=1-
1
(x+1)2，
又由x∈（0，1），则t′＞0，
则t在（0，1）是增函数，
故有2x+[1/x+1]＞1，
所以求得a≤1，
（2）证明：由（1）可得，当a=1时，f（x）在（0，1）上递增，
所以f（x）＞f（0），即ln（x+1）＞x-x²，
令x=[1/n]，（n≥2）则[1/n]∈（0，[1/2]]⊆（0，1），
所以有ln（[1/n]+1）＞[1/n]-[1
n2，变形可得ln
n+1/n]＞[n−1
n2，
所以
n/
k＝2][k−1
k2=
1
22+
2
32+…+
n−1
n2＜ln
3/2]+ln

点评：
本题考点： 不等式的证明；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查不等式的证明与利用导数求函数的最值；（1）中注意x的范围是（0，1），因（x+1）的范围，不能将2x+[1/x+1]转化为2（x+1）+[1/x+1]-2后，直接用基本不等式求其最小值．

1年前

回答问题