（理）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及x1、x2∈D恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（

（1）g（x）=2x是下凸函数，证明如下：
对任意实数x₁，x₂及α∈（0，1），
有g（αx₁+（1-α）x₂）-αg（x₁）-（1-α）g（x₂）=2（αx₁+（1-α）x₂）-2αx₁-2（1-α）x₂=0．
即g（αx₁+（1-α）x₂）≤αg（x₁）+（1-α）g（x₂）．
∴g（x）=2x是C函数．
k(x)=
1
x(x＜0)不是下凸函数，证明如下：
取x₁=-3，x₂=-1，α=
1
2，
则k（αx₁+（1-α）x₂）-αk（x₁）-（1-α）k（x₂）=k(-2)-
1
2k(-3)-
1
2k(-1)=-
1
2+
1
6+
1
2＞0．
即k（αx₁+（1-α）x₂）＞αk（x₁）+（1-α）k（x₂）．
∴k(x)=
1
x(x＜0)不是下凸函数．
（2）h（x）=px²是下凸函数，则对任意实数x₁，x₂及α∈（0，1），
有h（αx₁+（1-α）x₂）-αh（x₁）-（1-α）h（x₂）=p（αx₁+（1-α）x₂）²-pαx₁²-p（1-α）x₂²=p[-α（1-α）x₁²-α（1-α）x₂²+2α（1-α）x₁x₂]=-pα（1-α）（x₁-x₂）²≤0．
即当p≥0时，h（αx₁+（1-α）x₂）≤αh（x₁）+（1-α）h（x₂）．
∴当p≥0时，h（x）=px²是下凸函数．
（3）对任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=
n
m∈[0，1]．
∵f（x）是R上的下凸函数，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=[n/m×2m=2n．
那么S_f=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可证f（x）=2x是C函数，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时S_f=m²+m．
综上所述，S_f的最大值为m²+m．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查了函数恒成立问题，以及数列求和与新定义，同时考查了特殊值法，属于中档题，有一定的难度．

1年前

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