（2012•肇庆二模）设函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图象与直线y=4相切于M（1，4）．

解题思路：（1）对f（x）进行求导，根据f（x）的图象与直线y=4相切于M（1，4），可得f′（1）=0和f（1）=0，求出f（x）的解析式，再求其最值；
（2）根据函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点x=3不在区间[s，t]上分两种情况，若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上单调增；若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上单调减，从而进行判断；

（1）f'（x）=3x²+2ax+b，（1分）
依题意则有：

f′(1)＝0
f(1)＝4，即

3+2a+b＝0
1+a+b＝4解得

a＝−6
b＝9（2分）
∴f（x）=x³-6x²+9x
令f'（x）=3x²-12x+9=0，解得x=1或x=3（3分）
当x变化时，f'（x），f（x）在区间（0，4]上的变化情况如下表：

x （0，1） 1 （1，3） 3 （3，4） 4
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） 单调递增↗ 4 单调递减↘ 0 单调递增↗ 4所以函数f（x）=x³-6x²+9x在区间（0，4]上的最大值是4，最小值是0．（4分）
（2）由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点x=3不在区间[s，t]上； （5分）
①若极值点x=1在区间[s，t]，此时0＜s≤1≤t＜3，在此区间上f（x）的最大值是4，不可能等于t；故在区间[s，t]上没有极值点；（7分）
②若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上单调增，即0＜s＜t≤1或3＜s＜t，
则

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 此题主要考查利用导数求函数的单调区间及极值，是一道综合性比较强，第二问难度比较大，存在性问题，假设存在求出s，t，计算时要仔细；