已知函数f（x）=2cos 2 ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是 π 2 ．
已知函数f（x）=2cos 2 ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是
（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合． |
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（Ⅰ） f(x)=2?
1+cos2ωx
2 +sin2ωx+1
=sin2ωx+cos2ωx+2
=
2 (sin2ωxcos
π
4 +cos2ωxsin
π
4 )+2
=
2 sin(2ωx+
π
4 )+2
由题设，函数f（x）的最小正周期是
π
2 ，可得
2π
2ω =
π
2 ，所以ω=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f(x)=
2 sin(4x+
π
4 )+2 ．
当 4x+
π
4 =
π
2 +2kπ ，即 x=
π
16 +
kπ
2 (k∈Z) 时， sin(4x+
π
4 ) 取得最大值1，
所以函数f（x）的最大值是 2+
2 ，此时x的集合为 {x|x=
π
16 +
kπ
2 ，k∈Z} ．
1+cos2ωx
2 +sin2ωx+1
=sin2ωx+cos2ωx+2
=
2 (sin2ωxcos
π
4 +cos2ωxsin
π
4 )+2
=
2 sin(2ωx+
π
4 )+2
由题设，函数f（x）的最小正周期是
π
2 ，可得
2π
2ω =
π
2 ，所以ω=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f(x)=
2 sin(4x+
π
4 )+2 ．
当 4x+
π
4 =
π
2 +2kπ ，即 x=
π
16 +
kπ
2 (k∈Z) 时， sin(4x+
π
4 ) 取得最大值1，
所以函数f（x）的最大值是 2+
2 ，此时x的集合为 {x|x=
π
16 +
kπ
2 ，k∈Z} ．
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