一道很简单的高数题

球面被柱面切割部分在 xoy 平面上的投影即柱面的投影线包含域——圆D：(x-a)²+y²=a²；
球面上任一点(x,y,z)处微表面积 dS 与 xoy 平面的夹角余弦为 cosγ=z/(2a)=√(4a²-x²-y²) /(2a)；
将 dS 在柱面投影圆域 D 上积分即得切割面积；
S=∫∫{D} dS=∫∫{D} dxdy/cosγ=∫∫{D} [2a/√(4a²-x²-y²)] dxdy；
由于切割面的对称性,可只考虑 x、y、z>0 的部分,并引入平面极坐标 x=ρcosθ,y=ρsinθ,其中 0≤θ≤π/2,0≤ρ≤2a*cosθ；
S=4∫∫[2a/√(4a²-ρ²)] ρdρdθ=4a∫dθ∫dρ²/√(4a²-ρ²)=4a∫(4a-4asinθ)dθ=16a²[(π/2)-1]=8πa²-16a²；

转化为极坐标
x=rcosθ y=rsinθ
所以x^2+y^2=2ax为
(rcosθ)^2+(rsinθ)^2=2arcosθ
r^2=2arcosθ
r=2acosθ
过原点作x^2+y^2=2ax的切线，切线与x轴夹角为θ范围
所以θ∈[-π/2,π/2]
希望对你有帮助