（2008•江苏二模）已知数列{an}中，a1=-1，且 （n+1）an，（n+2）an+1，n 成

解题思路：（Ⅰ）(n+2)an+1＝

1

2

(n+1)an+

n

2

，由b₁=2a₁-1+2=-1，知

bn+1

bn

＝

(n+2)an+1−(n+1)+2

(n+1)an−n+2

＝

1 2 (n+1)an+ n 2 −(n+1)+2

(n+1)an−n+2

＝

1 2 (n+1)an− n 2 +1

(n+1)an−n+2

＝

1

2

，由此能够证明数列{b_n}是等比数列．
（Ⅱ）由bn＝−(

1

2

)n−1，知(n+1)an−n+2＝−(

1

2

)n−1．由此能求出{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）由an−bn＝

n

n+1

(

1

2

)n−1+

n−2

n+1

，知k ≥

1

n+1

(

1

2

)n−1+

n−2

n(n+1)

．设cn＝

1

n+1

(

1

2

)n−1，dn＝

n−2

n(n+1)

，en＝

1

n+1

(

1

2

)n−1+

n−2

n(n+1)

，则c_n 随着n的增大而减小，dn+1−dn＝

n−1

(n+1)(n+2)

−

n−2

n(n+1)

=

4−n

n(n+1)(n+2)

，所以n≥5时，d_n+1-d_n＜0，d_n+1＜d_nd_n随着n的增大而减小，n≥5时，e_n随着n的增大而减小． 由此能求出实数k的取值范围．

（Ⅰ）证明：(n+2)an+1＝12(n+1)an+n2，…1分∵b1=2a1-1+2=-1，…2分（文3分）bn+1bn＝(n+2)an+1−(n+1)+2(n+1)an−n+2＝12(n+1)an+n2−(n+1)+2(n+1)an−n+2＝12(n+1)an−n2+1(n+1)an−n+2＝12，∴数列{bn}是等比数...

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列递推式．

考点点评： 本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．