ex |
x−a |
jldx1217 幼苗
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(Ⅰ)当a=1时,f(x)=
ex
x−1,f′(x)=
ex(x−2)
(x−1)2,
∴f(0)=-1,f′(0)=-2,
∴曲线在(0,f(0))处的切线方程为:2x+y+1=0;
(Ⅱ)函数的定义域{x|x≠a}.
由f(x)=
ex
x−a,得f′(x)=
ex[x−(a+1)]
(x−a)2,
令f'(x)=0,得x=a+1,
当x∈(-∞,a),(a,a+1)时,f′(x)0.
∴f(x)在(-∞,a),(a,a+1)递减,在(a+1,+∞)递增.
若存在实数x∈(a,2]使不等式f(x)≤e2成立,
只需在(a,2]上f(x)min≤e2成立,
①若a+1≤2,即0<a≤1时,f(x)min=f(a+1)=ea+1≤e2,
∴a+1≤2,即a≤1,
∴0<a≤1;
②若a+1>2,即1<a<2,f(x)min=f(2)=
e2
2−a≤e2,
解得a≤1,
又1<a<2,
∴a∈∅.
综上,a的取值范围是(0,1].
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题.
考点点评: 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数研究函数的最值,体现了数学转化思想方法,是中档题.
1年前
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