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(Ⅰ)f(x)=(x2-3x)x-tx+2=x3-3x2-tx+2,f′(x)=3x2-6x-t;
由已知条件知:k,3是方程3x2-6x-t=0的两根;
由根与系数的关系得:
3+k=2
3k=−
t
3解得k=-1,t=9.
∴f(x)=x3-3x2-9x+2,f′(x)=3x2-6x-9.
(Ⅱ)解3x2-6x-9=0得:x=-1或3.
∴x∈[-2,-1)时,f′(x)>0;x∈(-1,3)时,f′(x)<0;x∈(3,4]时,f′(x)>0;
∴f(x)的极大值是f(-1)=7,极小值是f(3)=-25,又f(-2)=0,f(4)=-18;
∴-25≤f(x)≤7;
又-16≤f(x)-m≤16,f(x)-16≤m≤f(x)+16;
∴-9≤m≤-9;
∴m=-9.
(Ⅲ)设切点为(t,t3-3t2-9t+2),f′(t)=3t2-6t-9;
又切线过点(-2,n);
∴
t3−3t2−9t+2−n
t+2=3t2−6t−9;
整理得:2t3-3t2-12t-20-n=0;
由题意知该方程有三个零点,令g(t)=2t3-3t2-12t-20-n;
则g′(t)=6t2-6t-12;
∴t∈(-∞,-1)时,g′(t)>0;t∈(-1,2)时,g′(t)<0;t∈(2,+∞)时,g′(t)>0;
∴g(t)的极大值是g(-1)=-13-n,g(t)的极小值是g(2)=-40-n;
则:
−13−n>0
−40−n<0,解得-40<n<-13.
∴实数n的取值范围为(-40,-13).
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数解析式的求解及常用方法;函数恒成立问题;函数在某点取得极值的条件;平面向量数量积的运算.
考点点评: 考查数量积的坐标运算,通过求函数导数,根据导数符号判断函数在给定区间上的单调性,根据极值的概念求出极值,再求出区间的端点值,从而求出函数在给定区间上的最值,函数在切点处的导数与切线斜率的关系,若函数有三个零点,需满足极大值大于0,极小值小于0.
1年前
1年前1个回答
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已知f(x)的定义域为[-2,4],求f(x2-3x)的定义域
1年前2个回答
你能帮帮他们吗