如图所示,在一条河的一侧有两个村庄——李庄和马庄,现在要在河边建一个抽水站,分别向两个村庄送水
如图所示,在一条河的一侧有两个村庄——李庄和马庄,现在要在河边建一个抽水站,分别向两个村庄送水
若想使送水管道最短,则抽水站应建在河边何处?如果用（1,2）表示李庄,（4,3）表示马庄,那么抽水站应该如何表示?
若想使送水管道最短,则抽水站应建在河边何处?如果用（1,2）表示李庄,（4,3）表示马庄,那么抽水站应该如何表示?
赞 微笑的枫叶 幼苗
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解1：
设抽水站坐标为(x,0),则抽水站到两个村子的距离为：
L=((4-x)^2+3^2)^(1/2)+((x-1)^2+2^2)^(1/2)
故L的一阶导数为零时,L有最值（本题为最小值）,
对L取一阶导数,得：
（2x-8）/(((4-x)^2+3^2)^(1/2))+(2x-2)/((x-1)^2+2^2)^(1/2)=0,
解得：x=11/5.
解2：
取李庄坐标D（1,2）关于x轴的対称点,为A（1,-2）,
令马庄坐标（4,3）为B,连接AB,
则线段AB长度为A,B间最小距离
AB的直线方程为：(y-(-2))/(3-(-2))=(x-1)/(4-1),
整理得：y=(5/3)x-11/3,
其与x的交点为C,其纵坐标y=0,解得x=11/5,
因D点与A点关于x轴对称,易证DC=AC,
故x=11/5时,则抽水站送水管道最短.
设抽水站坐标为(x,0),则抽水站到两个村子的距离为：
L=((4-x)^2+3^2)^(1/2)+((x-1)^2+2^2)^(1/2)
故L的一阶导数为零时,L有最值（本题为最小值）,
对L取一阶导数,得：
（2x-8）/(((4-x)^2+3^2)^(1/2))+(2x-2)/((x-1)^2+2^2)^(1/2)=0,
解得：x=11/5.
解2：
取李庄坐标D（1,2）关于x轴的対称点,为A（1,-2）,
令马庄坐标（4,3）为B,连接AB,
则线段AB长度为A,B间最小距离
AB的直线方程为：(y-(-2))/(3-(-2))=(x-1)/(4-1),
整理得：y=(5/3)x-11/3,
其与x的交点为C,其纵坐标y=0,解得x=11/5,
因D点与A点关于x轴对称,易证DC=AC,
故x=11/5时,则抽水站送水管道最短.
1年前 追问
6
因为题目已经提到坐标 （（1，2）表示李庄，（4，3）表示马庄）， 我假定你们是接触过平面直角坐标系， x轴表示坐标系的横轴（x即元素的横坐标）， y轴表示坐标系的纵轴（y即元素的纵坐标） 平面直角坐标系内的元素（点，线，面）等， 都可以用x,y的关系来表达， 这个表达式就是该元素的方程式。 对已知两点坐标A（x1,y1）,B(x2,y2)的直线而言 （两点确定一条直线）， 方程式为(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1), （已知直线上两点坐标A（x1,y1）,B(x2,y2)， C为直线AB上任意一点，其坐标为（x，y）， 则方程式为(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)） 可由相似三角形边长成比例来求证其成立。 故直线方程就是这样来的。
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