物理竞赛中有一类的题都与微元法有关,请问下面这题怎么解?还有这类题怎么解?与微积分有关吗?要详解.

用微积分：光子每移动一段距离Δx,其频率将会降低Δv,于是有能量守恒知hΔv=mgΔx,考虑光子的相对论质量m=E/c²,E=hv,代入有hΔv=hvgΔx/c²,消去h,有Δv=-vgΔx/c²,当Δx→0,方程变为一个微分方程.即δv=-vgδx/c²,为了区别题目中的d,我将微分符号d写成δ.δv/v=-gδx/c²,积分即可.ln(v/v')=gd/c²,于是v‘=ve^(-gd/c²),得到v'-v=v[e^(-gd/c²)-1].
用微元法（前面同上）Δv=-vgΔx/c²,不妨记Δv=v(k+1)-v(k),且v(0)=v,v(∞)=v'.于是式子改写为v(k+1)-v(k)=-v(k)gΔx/c².两边除以v(k),有v(k+1)/v(k)-1=-gΔx/c².这个式子告诉我们一件事即Δx→0,v(k+1)/v(k)→1.于是我们将考虑累乘法,得到重要极限(1+1/n)^n→e,当n→∞.将式子v(k+1)/v(k)=-gΔx/c²+1从k=0到k=∞做累乘,得v(n)/v(0)=(1-gΔx/c²)^n.(n→∞)这儿出现了无穷,我们必须有其准确的表示.因此在Δx身上下功夫,补充定义Δx=d/n(n→∞),于是解得v’/v=e^(-gd/c²).与微积分的结论一致.此外,还有什么定积分定义法,其实都是大同小异.

设光子在从高度Xi上升到Xi+1的Δx高度中，重力做负功-mgΔx，光子能量减小mgΔx，则hVi+1-hVi=-mgΔx，即Vi+1-Vi=-mgΔx/h。由于mc^2=hVi，即m/h=Vi/c^2，所以Vi+1-Vi=-gVi*Δx/c^2，即Vi+1=(1-gΔx/c^2)Vi
则整个过程，有n=d/Δx个微元，则V'=(1-gΔx/c^2)^nV=(1-(gd/c^2)/n)^n...

hv1-hv=-mgd
h为常数
m=hy/c^2
hv1=hv+hcgd/c^2
v-v0=-vgd/c^2

• 

  yes?

重力势能求解涉及积分。设r出有受力gmM/r方＝引力。从无穷远处移至r处时，w=gMmdr/r方,积分下限无穷远，上限r.得ep=-gM/r.对此题有，从距地球球心R到R d.用以上公式求出势能增加量即为h(v2-v1)