（2007•天河区二模）如图，在直径为10的半圆AB上有两个动点C，D，弦AC、BD相交于点P，连接OP．
（2007•天河区二模）如图，在直径为10的半圆AB上有两个动点C，D，弦AC、BD相交于点P，连接OP．（1）若BD=8，试求出圆心O到弦BD的距离OE的长度；
（2）试比较∠OPA和∠OPB的大小；（只写结论，不需证明）
（3）试求出AP•AC+BP•BD的值．
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解题思路：（1）构造直角三角形利用勾股定理求得OE的长即可；
（2）根据弦的大小关系判断弦所对的圆心角的大小关系即可，注意分类讨论．
（3）连接AD，过P作PM⊥AB，垂足为M证得△ABD∽△PBM后即可得到答案．
（2）根据弦的大小关系判断弦所对的圆心角的大小关系即可，注意分类讨论．
（3）连接AD，过P作PM⊥AB，垂足为M证得△ABD∽△PBM后即可得到答案．
（1）∵OE⊥BD
∴BE＝
1
2BD＝4（1分）在Rt△OBE中，OE＝
OB2−BE2＝
52−42＝3（3分）
（2）①若AC＜BD，∠OPA＞∠OPB
②若AC=BD，∠OPA=∠OPB
③若AC＞BD，∠OPA＜∠OPB（8分）
（写一个得（2分），写全得5分）
（3）连接AD，过P作PM⊥AB，垂足为M
则有∠ADB=∠PMB=90°，（9分）
又∠DBA=∠PBM
∴△ABD∽△PBM（11分）
∴[PB/AB＝
MB
BD]
同理有[PA/AB＝
AM
AC]
∴AP•AC=AB•AMBP•BD=AB•MB（13分）
∴AP•AC+BP•BD=AB•AM+AB•MB
=AB（AM+MB）
=AB2=100（14分）
（没有过程只写出最后答案得（1分），只写特殊情况的推理计算得2分）
点评：
本题考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，题目中应用到了分类讨论思想．
1年前
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