nicolaske
春芽
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第一个问题:
由椭圆的方程x^2/a^2+y^2/b^2=1,得椭圆的中心为坐标原点,而椭圆的右焦点为(1,0),
∴c=√(a^2-b^2)=1,∴a^2-b^2=1,∴b^2=a^2-1.
又e=c/a=1/2,∴a=2c=2,∴a^2=4,∴b^2=a^2-1=4-1=3.
∴椭圆的方程为x^2/4+y^2/3=1.
令椭圆的左焦点为F1(-1,0),则:|MF1|=√[(0+1)^2+(3-0)^2]=√10.
由椭圆定义,有:|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF2|=4-|PF1|.
∴|PM|+|PF2|=4+|PM|-|PF1|≦4+|MF1|=4+√10.
∴|PM|+|PF2|的最大值为(4+√10).
第二个问题:
显然,当|PM|+|PF2|取最大值时,有:|PM|-|PF1|=|MF1|.
∴此时点P是MF1的延长线与椭圆的交点.
由M(0,3)、F1(-1,0),得:MF1的方程为:(y-0)/(x+1)=(0-3)/(-1-0),
∴y/(x+1)=3,∴y=3x+3.
联立:y=3x+3、x^2/4+y^2/3=1,消去y,得:x^2/4+3(x+1)^2=1,
∴x^2+12x^2+24x+12=4,∴13x^2+24x+8=0,
∴点P的横坐标x=[-24-√(24^2-4×13×8)]/26=-(12+2√10)/13.
∴点P的纵坐标y=3x+3=3-(36+6√10)/13=(3-6√10)/13.
∴点P的坐标是(-(12+2√10)/13,(3-6√10)/13).
1年前
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