（2014•商丘二模）已知函数f（x）=lnx-x-[a/x]，a∈R．

解题思路：（1）求导数，利用极值的定义，可得函数f（x）的极大值；
（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；
（3）先证明（a-1）（b-1）=1，进而可得b-1=[

1

2

(

1

b−1

+b−1)]2．令b-1=t（t＞1），整理，得t³-3t²-t-1=0．记h（t）=t³-3t²-t-1，h（t）在（1，1+

2 3

3

）单调减，在（1+

2 3

3

，+∞）单调增，又因为h（3）＜0，h（4）＞0，即可得出结论．

函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
（1）当a=0时，f（x）=lnx-x，f′（x）=[1/x]-1，
令f′（x）=0得x=1．…（1分）
列表：

x（0，1）1（0，+∞）
f′（x）+0-
f（x）↗极大值↘所以f（x）的极大值为f（1）=-1．…（3分）
（2）f′（x）=
−x2+x+a
x2．
令f′（x）=0得-x²+x+a=0，记△=1+4a．
（ⅰ）当a≤-[1/4]时，f′（x）≤0，所以f（x）单调减区间为（0，+∞）； …（5分）
（ⅱ）当a＞-[1/4]时，由f′（x）=0得x₁=
1+
1+4a
2，x₂=
1−
1+4a
2，
①若-[1/4]＜a＜0，则x₁＞x₂＞0，
由f′（x）＜0，得0＜x＜x₂，x＞x₁；由f′（x）＞0，得x₂＜x＜x₁．
所以，f（x）的单调减区间为（0，
1−
1+4a
2），（
1+
1+4a
2，+∞），单调增区间为（
1−

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查不等式的证明，难度大．