（2014•安阳三模）已知函数f（x）=x-1-alnx，a＞0．

解题思路：（Ⅰ）由已知得x＞0，f′(x)＝1−

a

x

，利用导数性质求出f（x）_极小值=f（a）=a-1-alna．由此求出a≥[1/1−lna]．
（Ⅱ）设数列a_n=（1+[1/n]）ⁿ，数列b_n=（1+[1/n]）ⁿ⁺¹，由

lim

x→∞

(1+

1

x

)x＝e，得：

lim

n→∞

an=e，

lim

n→∞

bn=e．由已知条件推导出数列{a_n}单调递增且数列{b_n}单调递减，由此能证明（1+[1/n]）ⁿ＜e＜（1+[1/n]）ⁿ⁺¹（其中n∈N ^*，e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）∵f（x）=x-1-alnx，a＞0，
∴x＞0，f′(x)＝1−
a
x，
由f′（x）=0，得x=a．
x∈（0，a）时，f′（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）的减区间是（0，a），增区间是（a，+∞），
∴f（x）_极小值=f（a）=a-1-alna．
∵对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0恒成立，
∴f（x）_极小值=f（a）=a-1-alna≥0．
∴a≥[1/1−lna]．
（Ⅱ）证明：设数列a_n=（1+[1/n]）ⁿ，数列b_n=（1+[1/n]）ⁿ⁺¹，
由
lim
x→∞(1+
1
x)x＝e，得：
lim
n→∞an=e，
lim
n→∞bn=e．
因此只需证数列{a_n}单调递增且数列{b_n}单调递减，
①证明数列{a_n}单调递增：
a_n=（1+[1/n]）ⁿ＜(
(1+
1
n)+(1+
1
n)+…+(1+
1
n)
n+1)n+1
=(
n+2
n+1)n+1=a_n+1，
∴数列{a_n}单调递增．
②证明数列{b_n}单调递减：
b_n=（1+[1/n]）ⁿ⁺¹=[1
(
n/n+1)n+1]
=[1
(1−
1/n+1)n+1]（ 令 t=-（n+1），换元 ）
=（1+[1/t]）^t=a_t，
由①得a_t关于t单调递增，而t=-（n+1）关于n单调递减，
由复合函数的单调性知，{b_n}．
∴（1+[1/n]）ⁿ＜e＜（1+[1/n]）ⁿ⁺¹（其中n∈N ^*，e为自然对数的底数）．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造成法、导数和极限性质的合理运用．