已知函数f（x）=ln（x+a）-x2+x，g（x）=x•ex-x2-1（x＞0），且f（x）点x=1处取得极值．

解题思路：（Ⅰ）通过求导得f'（1）=0，则得a=0．经检验符合题意；
（Ⅱ）由题意得：lnx−x2+

7

2

x＝b．令h(x)＝lnx−x2+

7

2

x(x＞0)，从而有h(x)∈[

5

2

，ln2+3]，进而求出b的取值范围；
（Ⅲ）证明：令F（x）=g（x）-f（x）=x•e^x-lnx-x-1（x＞0），则F′(x)＝(x+1)•ex−

1

x

−1=

(x+1)

x

•(x•ex−1)，得到F（x）≥F（c）=0，从而证得g（x）≥f（x）．

（Ⅰ）∵f（x）=ln（x+a）-x²+x，
∴f′(x)＝
1
x+a−2x+1
∵函数f（x）=ln（x+a）-x²+x在点x=1处取得极值，
∴f'（1）=0，即当x=1时[1/x+a−2x+1＝0，
∴
1
1+a−1＝0，则得a=0．经检验符合题意；
（Ⅱ）∵f(x)＝−
5
2x+b，∴lnx−x2+x＝−
5
2x+b，
∴lnx−x2+
7
2x＝b．
令h(x)＝lnx−x2+
7
2x(x＞0)，
则h′(x)＝
1
x−2x+
7
2＝−
(4x+1)(x−2)
2x]．
∴当x∈[1，3]时，h'（x），h（x）随x的变化情况表：

x1（1，2）2（2，3）…（8分）
3
h'（x）+0-
h（x）↗极大值↘计算得：h(1)＝
5
2，h(3)＝ln3+
3
2＞
5
2，h（2）=ln2+3，
∴h(x)∈[
5
2，ln2+3]
所以b的取值范围为[
5
2，ln2+3]．
（Ⅲ）证明：令F（x）=g（x）-f（x）=x•e^x-lnx-x-1（x＞0），
则F′(x)＝(x+1)•ex−
1
x−1=
(x+1)
x•(x•ex−1)，
令G（x）=x•e^x-1，则∵G'（x）=（x+1）•e^x＞0（x＞0），
∴函数G（x）在（0，+∞）递增，G（x）在（0，+∞）上的零点最多一个，
又∵G（0）=-1＜0，G（1）=e-1＞0，
∴存在唯一的c∈（0，1）使得G（c）=0，
且当x∈（0，c）时，G（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，G（x）＞0．
即当x∈（0，c）时，F'（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，F'（x）＞0．
∴F（x）在（0，c）递减，在（c，+∞）递增，
从而F（x）≥F（c）=c•e^c-lnc-c-1．
由G（c）=0得c•e^c-1=0即c•e^c=1，两边取对数得：lnc+c=0，
∴F（c）=0，∴F（x）≥F（c）=0，
从而证得g（x）≥f（x）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考查不等式的证明，是一道综合题．