（2011•德化县质检）如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过P作PE⊥AB交AC边于
（2011•德化县质检）如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过P作PE⊥AB交AC边于点E，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB周长为y．（1）求证：△APE∽△ACB；
（2）写出y与x的函数关系式，并在直角坐标系中画出图象．
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解题思路：（1）可证明△APE和△ACB都是直角三角形，还有一个公共角，从而得出△APE∽△ACB；
（2）由勾股定理得出BC，再由相似，求出PE=[3/4]x，AE＝
x，即可得出y与x的函数关系式，确定自变量的取值范围，再画出图象．
（2）由勾股定理得出BC，再由相似，求出PE=[3/4]x，AE＝
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证明：（1）∵PE⊥AB，
∴∠APE=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠APE=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△APE∽△ACB；
（2）在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
∴BC=
AB2−AC2＝
102−82＝6，
由（1）可知，△APE∽△ACB
∴[AE/AB＝
AP
AC＝
PE
BC]，
∵AP=x，
∴PE=[3/4]x，AE＝
5
4x，
∴y＝10−x+
3
4x+8−
5
4x+6=24−
3
2x，
过点C作CF⊥AB于F，依题意可得：
[1/2]•CF•10=[1/2]×8×6，
∴CF=4.8，
∴[3/4]x＜4.8，
解得：x＜6.4，
∴0＜x＜6.4（当x≥6.4时不能构成四边形PECB），
∴y与x的函数关系式为：y=24-[3/2]x（0＜x＜6.4）y与x的函数图象如图．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；一次函数的图象；根据实际问题列一次函数关系式；勾股定理．
考点点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质、一次函数的图象以及列函数解析式，是中档题，难度不大．
1年前
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