已知函数f（x）=mx-[m−1/x]-lnx，m∈R，函数g（x）=[1/cosθ•x]+lnx在[1，+∞）上为增函

（1）由题意g′(x)＝−
1
cosθ•x2+
1/x≥0在[1，+∞）上恒成立，
即
cosθ•x−x
cosθ•x2≥0，
∵θ∈[0，
π
2)，故cosθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
只须cosθ•1-1≥0，即cosθ≥1，得θ=0，
∴θ的取值范围是{0}．
（2）由（1）得h（x）=mx-
m
x]-2lnx，
∴h′(x)＝
mx2−2x+m
x2，
∵h（x）在[1，+∞）上为单调函数，
∴mx²-2x+m≥0，或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立，
mx²-2x+m≥0等价于m（1+x²）≥2x，即m≥[2x
1+x2，
而
2x
1+x2＝
2
x+
1/x]•{[2
x+
1/x]}_max=1，解得m≥1，
∴mx²-2x+m≤0等价于m（1+x²）≤2x，
即m≤
2x
1+x2在[1，+∞）恒成立，
而[2x
1+x2∈(0，1]，∴m≤0，
综上所述，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（3）构造函数F（x）=mx-
m/x−2lnx−
2e
x]．
当m≤0时，x∈[1，e]，mx-[m/x]≤0，-2lnx-[2e/x]＜0，
∴在[1，e]上不存在一个x₀，
使得h（x₀）＞[2e
x0成立．…9分
当m＞0时，F'（x）=m+
m
x2−
2/x+
2e
x2＝
mx2−2x+m+2e
x2]．
∵x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）_max=me-[4/e]-4，只要me-[4/e]-4＞0，
解得m＞[4e
e2−1．
故m的取值范围是(
4e
e2−1，+∞)．…14分．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查函数的单调区间的应用，考查实数取值范围的求法，解题时要注意导数性质、构造法和分类讨论思想的合理运用．

1年前

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