已知数列满足：a1=1，an+1=anan+2，（n∈N*），若bn+1=（n-λ）（1an+1），b1=-λ，且数列{

解题思路：数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，（n∈N^*），两边取倒数可得

1

an+1

＝

2

an

+1，化为

1

an+1

+1＝2(

1

an

+1)，利用等比数列的通项公式可得

1

an

+1＝2n，
于是b_n+1=（n-λ）（

1

an

+1）=（n-λ）•2ⁿ，由于b₁=-λ，且数列{b_n}是单调递增数列，可得b_n+1＞b_n，解出即可．

∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=
an
an+2，（n∈N^*），
∴
1
an+1＝
2
an+1，化为
1
an+1+1＝2(
1
an+1)，
∴数列{
1
an+1}是等比数列，首项为
1
a1+1=2，公比为2，
∴
1
an+1＝2n，
∴b_n+1=（n-λ）（
1
an+1）=（n-λ）•2ⁿ，
∵b₁=-λ，且数列{b_n}是单调递增数列，
∴b_n+1＞b_n，
∴（n-λ）•2ⁿ＞（n-1-λ）•2^n-1，
化为λ＜n+1，
∵数列{n+1}为单调递增数列，
∴λ＜2．
∴实数λ的取值范围为λ＜2．
故答案为：λ＜2．

点评：
本题考点： 数列递推式；数列的函数特性．

考点点评： 本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．