（2014•房山区一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距

解题思路：（Ⅰ）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△BFM与△BFN的面积比值为2等价于FM与FN比值为2，分类讨论，设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，消x并整理，利用韦达定理，根据FM与FN比值为2，即可求得直线方程．

（Ⅰ）由已知得c=1，a=2c=2------------------（3分）
∴b＝
a2−c2=
3，
∴椭圆C的方程为
x2
4+
y2
3＝1------------------（4分）
（Ⅱ）△BFM与△BFN的面积比值为2等价于FM与FN比值为2------------------（2分）
当直线l斜率不存在时，FM与FN比值为1，不符合题意，舍去；------------------（3分）
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），
直线l的方程代入椭圆方程，消x并整理得（3+4k²）y²+6ky-9k²=0------------------（5分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=-[6k
3+4k2 ①，y₁y₂=-
9k2
3+4k2②------------------（7分）
由FM与FN比值为2得y₁=-y₂③
由①②③解得k=±

5/2]，
因此存在直线l：y=±

5
2（x-1）使得△BFM与△BFN的面积比值为2------------------（9分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，△BFM与△BFN的面积比值为2等价于FM与FN比值为2是关键．