设函数f（x）连续且恒大于零，F（t）=∫∫∫Ω(t)f(x2+y2+z2)dv∫∫D(t)f(x2+y2)dσ，G（x

（1）因为F(t)＝

∫2π0dθ
∫π0dϕ
∫t0f(r2)r2sinϕdr

∫2π0dθ
∫t0f(r2)rdr＝
2
∫t0f(r2)r2dr

∫t0f(r2)rdr，
F′(t)＝2
tf(t2)
∫t0f(r2)r(t−r)dr
[
∫t0f(r2)rdr]2，
显然有：
t≥0，f（t²）＞0；t-r≥0，f（r²）＞0；
所以：
tf（t²）
∫t0f（r²）（t-r）dr≥0．
因此：
在（0，+∞）上F'（t）≥0，
故F（t） 在（0，+∞）内单调不减．
（2）因为：
G(t)＝
π
∫t0f(r2)rdr

∫t0f(r2)dr，
要证明t＞0时
F(t)＞
2
πG(t)，只需证明t＞0时，
F(t)−
2
πG(t)＞0，
即
∫t0f(r2)r2dr
∫t0f(r2)dr−[
∫t0f(r2)rdr]2＞0．
令g(t)＝
∫t0f(r2)r2dr
∫t

点评：
本题考点： 三重积分的性质及应用；三重积分的计算．

考点点评： 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式．