已知函数f(x)＝bx+1(ax+1)2(x≠−1a，a＞0)，且f（1）=log162，f（-2）=1．

解题思路：（1）由已知中函数f(x)＝

bx+1

(ax+1)2

(x≠−

1

a

，a＞0)，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．我们可以构造关于a，b的方程，解方程求出a，b的值，即得到函数f（x）的表达式；
（2）根据x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，我们分别令n=1，2，3，4，即可法求出x₁，x₂，x₃，x₄；
（3）根据（2）中数列的前4项，分析他们之间呈现的规律，归纳推理后，即可得到数列x_n的通项公式，然后利用数学归纳法，即可证明结论．

（1）∵f(x)＝
bx+1
(ax+1)2(x≠−
1
a，a＞0)，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．
∴
b+1
(a+1)2=log₁₆2=[1/4]，
−2b+1
(−2a+1)2=1
解得：

a＝1
b＝0
∴函数f(x)＝
1
(x+1)2
（2）由（1）中f(x)＝
1
(x+1)2
∴x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，
当n=1时，x1＝
3
4．
当n=2时，x2＝
4
6，
当n=3时，x3＝
5
8，
当n=4时，x4＝
6
10
（3）由（2）中结论我们易得：xn＝
n+2
2(n+1)．
当n=1时，结论显然成立
设n=k时，结论成立，即xk＝
k+2
2(k+1)
则当n=k+1时，xk+1＝xk•[1−
1
(k+2)2]=
k+2
2(k+1)•[1−
1
(k+2)

点评：
本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；数学归纳法．

考点点评： 本题考查的知识点是函数解析式的求出及数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．