f(x) |
x |
润辰 幼苗
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(1)由定义在R上奇函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),可得 b=d=0,故f(x)=ax3 +cx.
再由f(1)≠1可得a+c≠1.
当x∈[1,2]时,函数g(x)=
f(x)
x=ax2+c,当a>0时,g(x)在[1,2]上是增函数,再根据它的值域为[-2,1],
可得 a+c=-2,4a+c=1,解得 a=1,c=-3,故f(x)=x3 -3.
当a<0时,g(x)=ax2+c 在[1,2]上是减函数,可得a+c=1,不满足a+c≠1,故舍去.
综上可得,f(x)=x3 -3.
(2)根据函数f(x)=x3 -3,可得在[1,+∞)是增函数.
令它的导数为f′(x)=3x2>0,可得x>0,或 x<0,故函数的增区间为(-∞,0)、(0,+∞),即此函数的增区间为(-∞,+∞),此函数无减区间.
(3)关于x的方程f(x)-t=0的根的个数,即函数y=f(x)与函数y=t 的交点的个数.
结合图象可得,函数y=f(x)与函数y=t 的交点的个数为1.
点评:
本题考点: 根的存在性及根的个数判断;函数的值域;函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的判断与证明.
考点点评: 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断,求函数的解析式和单调区间,函数的奇偶性的应用,体现了化归与转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.
1年前
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的偶函数,
1年前2个回答
你能帮帮他们吗