（2013•哈尔滨一模）已知函数 f（x）=lnx，g（x）=ex

解题思路：（1）求出函数h（x）的导函数，由导函数的符号直接判断函数h（x）的单调性；
（2）求出函数f（x）和g（x）的导函数，根据函数特点分别在两函数图象上找到点(e

n

e

，

n

e

)和点(−

n

e

，

1

e n e

)，求出两个函数图象分别在点(e

n

e

，

n

e

)和点(−

n

e

，

1

e n e

)处的切线方程，由两切线的截距相等能够说明在区间
（0，+∞） 上存在唯一的x₀，使得两切线为同一直线，则问题得证．

（1）h（x）=f（x）-[x+1/x−1]=lnx-[x+1/x−1]，定义域：{x|x＞0，且x≠1}．
h′(x)＝
1
x−
(x−1)−(x+1)
(x−1)2＝
1
x+
2
(x−1)2=
(x−1)2+2x
x(x−1)2＝
x2+1
x(x−1)2．
由于x＞0且x≠1，故其在区间（0，1），（1，+∞）内，恒有h′（x）＞0，
所以函数h（x）的单调增区间为（0，1），（1，+∞）；
（2）由f（x）=lnx，所以f′(x)＝
1
x，当x=e
n
e（n＞0）时，f′(e
n
e)＝
1
e
n
e，
故y=f（x）上存在一点(e
n
e，
n
e)，过该点的切线方程为
y＝
1
e
n
e(x−e
n
e)+
n
e＝
1
e
n
ex+
n−e
e①
g（x）=e^x，g′（x）=e^x，当x=-[n/e]时，g′(−
n
e)＝e−
n
e＝
1
e
n
e，
故过y=g（x）上的点(−

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答的关键是能够在两个曲线上找到符合题意的点，属中高档题．