常青藤柳 春芽
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(1)设P(x,eax)是函数f(x)=eax图象上任一点,则它关于直线y=x对称的点P′(eax,x)在函数g(x)=blnx的图象上,
∴x=blneax=abx,
∴ab=1.
(2)当a>0时,函数h(x)=f(x)-g(x)有且只有一个零点,则两个函数的图象有且只有一个交点,
∵两个函数关于直线y=x对称,
∴两个函数图象的交点就是函数f(x)=eax的图象与直线y=x的切点.
设切点为A(x0,eax0),x0=eax0,
f′(x)=aeax,∴aeax0=1,
∴ax0=1,x0=eax0=e,
∴当a=[1
x0=
1/e]时,函数h(x)=f(x)-g(x)有且只有一个零点x=e;
(3)当a=1时,设r(x)=f(1-x)+g(x)-x2=e1-x+lnx-x2,则
r′(x)=-e1-x+[1/x]-2x,
当x∈(
1
2,1)时,[1/x]-2x<2-1=1,-e1-x<-1,r′<0;
当x∈[1,+∞)时,[1/x]-2x≤1-2=-1,-e1-x<0,r′<0.
∴r(x)在(
1
2,+∞)上是减函数.
又r(1)=0,
∴不等式f(1-x)+g(x)<x2解集是(1,+∞).
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性,考查函数的零点、不等式,考查学生综合运用知识解决问题的能力.
1年前
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1年前2个回答
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(2012•湖南)已知函数f(x)=eax-x,其中a≠0.
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你能帮帮他们吗