A是半正定矩阵,有f(x)=X'AX,f(y)=Y'AY,证明:(X'AY)(X'AY)

如果A是正定的, = X'AY是一个内积,这个不等式就是Cauchy不等式.
我们不妨用同样的办法去证明.
对任意向量X,Y与实数t,考虑g(t) = (tX+Y)'A(tX+Y) = f(X)t²+2(X'AY)t+f(Y).(A对称故X'AY = Y'AX).
由A半正定,有g(t) ≥ 0对任意实数t成立,作为关于t的二次函数,有判别式 ≤ 0.
即4(X'AY)² ≤ 4f(X)f(Y),于是(X'AY)² ≤ f(X)f(Y).
另外其实还有合同变换的方法,A半正定,双线性函数X'AY在某可逆变数替换下变为标准型
x_1*y_1+...+x_r*y_r,其中r是A的秩.
(x_1*y_1+...+x_r*y_r)² ≤ ((x_1)²+...+(x_r)²)((y_1)²+...+(y_r)²)就是原本的Cauchy不等式了.