若函数f（x）=x3-ax2（a＞0）在区间(203，+∞)上是单调递增函数，则使方程f（x）=1000有整数解的实数a

解题思路：先对函数求导，利用函数在区间(203，+∞)上是单调递增函数的条件得出参数的取值范围，再根据函数图象的特征判断出方程f（x）=1000的解存在的范围，采用分离常数法将f（x）=1000变为a=x-1000x2，构造一个新的函数g（x）=x-1000x2，研究其图象特征即可．

对f（x）求导得f'（x）=3x²-2ax
令f'（x）≥0以求原函数的单调增区间得3x²-2ax≥0，解得x≤0或x≥[2/3]a．
令f'（x）≤0以求原函数的单调减区间得3x²-2ax≤0，解得0≤x≤[2/3]a．
由题意知，区间（[20/3]，+∞）处于增区间，故[2/3]a≤[20/3]，结合已知条件a＞0，解得0＜a≤10．
令f（x）=0解得x=0或x=a．
结合上面的分析可知，在（-∞，a]上，f（x）≤0，在（a，+∞）上，f（x）＞0，所以f（x）=1000的解只能在（a，+∞）上．
由x³-ax²=1000，变形得a=x-[1000
x2，
记g（x）=x-
1000
x2，因为0＜a≤10，所以0＜g（x）≤10．
观察知，g（x）在x＞0上是增函数（求导也可得出），
经试算，有g（10）=0，g（14）=8+
44/49]，g（15）=10+[5/9]，可见0＜g（x）≤10的解在区间（10，15）上，所以x的整数解只可能是11、12、13、14共4个，
而a=g（x），g（x）为增函数，所以相应地，a值也只有4个
故答案为4

点评：
本题考点： 函数的单调性与导数的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考点是函数的单调性与导数的关系，考查了函数的单调性与导数的对应，以及方程有整数解时利用二分法的思想确定方程解的范围，本题的技巧性较强，有一定的难度．