（本小题满分12分）设动点 P 到点 A (－l，0)和 B (1，0)的距离分别为 d 1 和 d 2 ，∠ APB
| （本小题满分12分） 设动点 P 到点 A (－l，0)和 B (1，0)的距离分别为 d 1 和 d 2 ， ∠ APB ＝2 θ ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得 d 1 d 2 sin 2 θ ＝λ． （1）证明：动点 P 的轨迹 C 为双曲线，并求出 C 的方程； （2）过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M 、 N 两 点,试确定λ的范围,使  · ＝0,其中点O为坐标原点．  |
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（1）动点 P 的轨迹 C 为双曲线，方程为：
（2）
．由①②知
解法一：（1）在
中，
，即
，
，即
（常数），
点
的轨迹
是以
为焦点，实轴长
的双曲线．
方程为： ．
（2）设
，
①当
垂直于
轴时， 的方程为
，
，
在双曲线上．
即
，因为
，所以
．
②当 不垂直于 轴时，设 的方程为
．
由
得：
，
由题意知：
，
所以
，
．
于是：
．
因为
，且
在双曲线右支上，所以
．
由①②知， ．
解法二：（1）同解法一
（2）设 ， ， 的中点为
．
①当
时，
，
因为 ，所以 ；
②当
时，
．
又
．所以
（2）
．由①②知
解法一：（1）在
中，
，即
，
，即
（常数），点
的轨迹
是以
为焦点，实轴长
的双曲线．方程为：
．（2）设
，
①当
垂直于
轴时， 的方程为
，
，
在双曲线上．即
，因为
，所以
．②当
不垂直于 轴时，设 的方程为
．由
得：
，由题意知：
，所以
，
．于是：
．因为
，且
在双曲线右支上，所以
．由①②知，
．解法二：（1）同解法一
（2）设
， ， 的中点为
．①当
时，
，因为
，所以 ；②当
时，
．又
．所以
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