初三数学题已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于不同的两点A(X1,0)和B(X2,0),与Y轴的
初三数学题
已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于不同的两点A(X1,0)和B(X2,0),与Y轴的正半轴交于点C,如果X1、X2是方程X²-X-6=0的两个跟（X1＜X2）,且△ABC的面积为7.5.如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合）,过点P作直线Y=M（M为常数）,与直线BC交于点Q,则在X轴上是否存在点R,使得以PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形?若存在,找出点R的坐标；若不存在,请说明理由.
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已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于不同的两点A(X1,0)和B(X2,0),与Y轴的正半轴交于点C,如果X1、X2是方程X²-X-6=0的两个跟（X1＜X2）,且△ABC的面积为7.5.如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合）,过点P作直线Y=M（M为常数）,与直线BC交于点Q,则在X轴上是否存在点R,使得以PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形?若存在,找出点R的坐标；若不存在,请说明理由.
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答案：在X轴上存在点R,其坐标R1(-3/4,0) 和 R2(9/8,0）
由题知：X1、X2是方程X²-X-6=0的两个跟（X1＜X2）
所以,(X+2)(X-3)=0
所以,X1=－2 X2=3
所以A(-2,0) B(3,0)
又因为△ABC的面积为7.5 AB=[3-(-2)]=5
所以,S△ABC=AB*OC/2=5*yc/2=7.5
所以,yc=3 故点C(0,3)
所以,抛物线方程：y=(-1/2)x²+x/2+3 即：y=(-1/2)(x-1/2)²+25/8
所以,直线AC的方程：3x-2y+6=0 当,y=M,则 x=2M/3-2 所以,P(2M/3-2 ,M)
直线BC的方程：x+y-3=0 当,y=M,则 x=3-M 所以,Q(3-M,M)
PQ=[(3-M)-(2M/3-2)]=5-5M/3
由题知,如果在X轴上存在点R,使得以PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形
则,PQ⊥QR,PQ=QR=M
所以 5-5M/3=M
解之,M=15/8
由题知：X1、X2是方程X²-X-6=0的两个跟（X1＜X2）
所以,(X+2)(X-3)=0
所以,X1=－2 X2=3
所以A(-2,0) B(3,0)
又因为△ABC的面积为7.5 AB=[3-(-2)]=5
所以,S△ABC=AB*OC/2=5*yc/2=7.5
所以,yc=3 故点C(0,3)
所以,抛物线方程：y=(-1/2)x²+x/2+3 即：y=(-1/2)(x-1/2)²+25/8
所以,直线AC的方程：3x-2y+6=0 当,y=M,则 x=2M/3-2 所以,P(2M/3-2 ,M)
直线BC的方程：x+y-3=0 当,y=M,则 x=3-M 所以,Q(3-M,M)
PQ=[(3-M)-(2M/3-2)]=5-5M/3
由题知,如果在X轴上存在点R,使得以PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形
则,PQ⊥QR,PQ=QR=M
所以 5-5M/3=M
解之,M=15/8
1年前
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