如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一

取AB的中点E连接DE，由题意知DE⊥AB，DE⊥CD
以DE所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD ₁ 所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系
设M（0，0，z），N（x，y，0），则P（
x
2 ，
y
2 ，
z
2 ）
MN=
x 2 + y 2 + z 2 =2
∴x ² +y ² +z ² =4
∴
x 2
4 +
y 2
4 +
z 2
4 = (
x
2 ) 2 + (
y
2 ) 2 + (
z
2 ) 2 =1
∴OP ² =1
即OP=1
∴点P的轨迹是以原点D为球心，以1为半径的球的一部分
又∵∠BAD=60°
∴∠ADC=120°
∴点P的轨迹是球的
1
6
∴几何体的体积为 V=
1
6 ×
4
3 π× 1 3 =
2π
9
故答案为：
2π
9