已知f(x)＝lnx1+x−lnx，f（x）在x=x0处取得最大值，以下各式中正确的序号为（　　）

解题思路：求导函数，可得f′(x)＝−

x+1+lnx

(1+x)2

令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x₀，代入验证，即可得到结论．

求导函数，可得f′(x)＝−
x+1+lnx
(1+x)2 令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x₀，
∴-x₀-1=lnx₀
∴f（x₀）=(−x0−1)•
1−1−x0
1+x0=x₀，即②正确
f(x0)−
1
2=
−2x0lnx0−(1+x0)
2(1+x0)
∵-x₀-1=lnx₀，
∴f(x0)−
1
2=
(1−2x0)lnx0
2(1+x0)
x=[1/2]时，f′（[1/2]）=-

3
2+ln
1
2

9
4＜0=f′（x₀）
∴x₀在x=[1/2]左侧
∴x₀＜[1/2]
∴1-2x₀＞0
∴
(1−2x0)lnx0
2(1+x0)＜0
∴f(x0)＜
1
2
∴④正确
综上知，②④正确
故选B．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查导数知识的应用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．

f'(x)=[1/x*(1+x)-lnx]/(1+x)^2-1/x=[1+x-xlnx-1-2x-x^2]/x(1+x)^2=-[1+x+lnx]/(1+x)^2
令g(x)=1+x+lnx,易得函数有唯一零点,即是题中的xo.
∴-x0-1=lnx0
∴f(x0)=-x0lnx0/(1+x0)=x0
②f(x0)=x0正确
f(x0)-1/2
=...