（2011•枣庄二模）已知函数f（x）=lnx-[1/2]ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0

解题思路：（1）根据对数函数的定义求得函数的定义域，根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，利用f′（1）=0，代入导函数化简即可得到a与b的关系式，用a表示出b；然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；
（2）根据（1）求出函数f（x）的最大值为g（a），构造函数φ（a）=ln（1+

a

2

）-[a/2]，利用导数 研究该函数的最值，即可证明结论；
（3）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．

（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=[1/x−ax+b＝0，
∴b=a-1，∴f′（x）=
1
x−ax+a−1＝−
(ax+1)(x−1)
x]，
当f′（x）＞0时，得-
(ax+1)(x−1)
x＞0，
∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，
当f′（x）＜0时，得-
(ax+1)(x−1)
x＞0，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，
∴当f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
（2）证明：g（a）=f（1）=[a/2−1，f′（x）=−
(ax+1)(x−1)
x]（x＞0），
令φ（a）=ln（1+
a
2）-[a/2]，则φ′（a）=[−a
2(2+a)＜0，
∴φ（a）在（0，+∞）上是减函数，
∴φ（a）＜φ（0）=0，即ln（1+
a/2]）-[a/2]＜0，
（3）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切线”，
则k_AB=
y2−y1
x2−x1＝
lnx2−lnx1
x2−x1−
a(x2+x1)
2+a-1，
f′（
x2+x1
2）=[2
x2+x1−
a(x2+x1)/2+a−1，
又k_AB=f′（
x2+x1
2]）得
lnx2−lnx1
x2−x1

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．