已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．

解题思路：（Ⅰ）利用已知关系式，求出数列的公比，然后求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）通过b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求出通项公式b_n，然后求出倒数，通过裂项法直接求解Tn＝

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，利用(7−2n)Tn＜k

n•2n+1

(n+1)

恒成立，求出数列的最大项，然后求出k的范围．

（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由a₃²=9a₂a₆得a₃²=9a₄²所以q²=[1/9]．
由条件可知q＞0，故q=[1/3]． （3分）
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=[1/3]．（6分）
故数列{a_n}的通项式为a_n=[1
3n． （7分）
（Ⅱ）b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=-（1+2+3+…+n）
=−
n(n+1)/2] （9分）
故[1
bn=−
2
n(n+1)=−2(
1/n−
1
n+1)（10分）
Tn＝
1
b1+
1
b2+…+
1
bn]=−2[(
1
1−
1
2)+(
1
2−
1
3)+…+(
1
n−
1
n+1)]=−
2n
n+1．（11分）
所以数列{
1
bn}的前n项和为−
2n
n+1．化简得k≥
2n−7
2n对任意n∈N^*恒成立
设Cn＝
2n−7
2n，则Cn+1−Cn＝
2(n+1)−7
2n+1−
2n−7
2n=[9−2n
2n+1．
当n≥5，C_n+1≤C_n，{C_n}为单调递减数列，
当1≤n＜5，C_n+1＞C_n，{C_n}为单调递增数列

1/16＝C4＜C5＝
3
32]，所以，n=5时，C_n取得最大值[3/32]，
所以，要使k≥
2n−7
2n对任意n∈N^*恒成立，k≥
3
32…14分

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查数列通项公式的求法，裂项法数列求和，恒成立问题的求解，考查数列与不等式的综合问题，考查逻辑推理能力、计算能力．