（2012•济南三模）如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且2PA=AD，E、F、G、H分别是线段PA
（2012•济南三模）如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且2PA=AD，E、F、G、H分别是线段PA、PD、CD、BC的中点．（Ⅰ）求证：BC∥平面EFG；
（Ⅱ）求证：DH⊥平面AEG；
（Ⅲ）求三棱锥E-AFG与四棱锥P-ABCD的体积比．
赞 田薇薇 幼苗
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解题思路：（Ⅰ）利用平行公理证明BC∥EF，再利用线面平行的判定，证明BC∥平面EFG；
（Ⅱ）利用PA⊥平面ABCD，证明AE⊥DH，利用△ADG≌△DCH，证明DH⊥AG，从而可证DH⊥平面AEG；
（Ⅲ）
＝
，计算出体积可得结论．
（Ⅱ）利用PA⊥平面ABCD，证明AE⊥DH，利用△ADG≌△DCH，证明DH⊥AG，从而可证DH⊥平面AEG；
（Ⅲ）
| VE−APG |
| VP−ABCD |
| VG−AEF |
| VP−ABCD |
（Ⅰ）证明：∵BC∥AD，AD∥EF，∴BC∥EF…（2分）
∵BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，
∴BC∥平面EFG…（3分）
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，DH⊂平面ABCD，
∴PA⊥DH，即 AE⊥DH…（5分）
∵△ADG≌△DCH，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°
∴∠AGD+∠HDC=90°
∴DH⊥AG
又∵AE∩AG=A，
∴DH⊥平面AEG…（8分）
（Ⅲ）
VE−AFG
VP−ABCD＝
VG−AEF
VP−ABCD=
1
2CD×
1
2EF×EA
PA×AD×CD=
1
2CD×
1
2×
1
2AD×
1
2PA
PA×AD×CD=[1/16]…（12分）
点评：
本题考点： 组合几何体的面积、体积问题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
考点点评： 本题考查线面平行，线面垂直，考查体积的计算，解题的关键是正确运用线面平行、线面垂直的判定，属于中档题．
1年前
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