如图（1），在Rt△AOB中，∠A=90°，AB=6，OB=43，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直

（1）在Rt△AOB中，∠A=90°，AB=6，OB=4
3，
sin∠AOB＝
AB
OB＝
6
4
3＝

3
2，则∠AOB=60°．
因为OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，OA＝
1
2OB＝2
3．
在Rt△AOC中，∠A=90°，∠AOC=30°，AC＝
OA

3＝2，OC=2AC=4，
所以BC=AB-AC=4．

（2）本题分三种情况：
①当点P在BC上、点Q在OC上运动时，（0＜t＜4）如图（1）CP=4-t，CQ=t
过点P作PM⊥OC交OC的延长线于点M．
在Rt△CPM中，∠M=90°，∠MCP=60°
∴CM=[1/2PC＝
1
2(4−t)，PM＝
3CM＝

3
2(4−t)，
∵S△CPQ＝
1
2]QC•PM，
∴S＝
1
2×t•

3
2(4−t)=

3
4t(4−t)．
②当t=4时，点P与点C重合，点Q与点O重合，此时，不能构成△CPQ；
③当点P在OC上、点Q在OQ上运动时即（4＜t≤8），
如图（2）PC=t-4，OQ=t-4，
过点Q作QN⊥OC交OC于点N，
在Rt△OQN中，∠QNO=90°，∠QON=60°，ON＝
1
2OQ＝
1
2(t−4)，QN＝
3ON＝

3
2(t−4)，
所以S＝
1
2PC•QN＝
1
2×(t−4)•

3
2(t−4)＝

3
4(t−4)2，
综上所述S=



3
4t(4−t)(0＜t＜4)


3
4(t−4)2．

（3）△OPE为等腰三角形分三种情况：
①当OP=OE时，OQ=t-4，OP=8-t
过点E作EH⊥OQ于点H，则QH=EH=[1/2]OE，OH=

3
2OE，



∴OQ=HQ+OH=(
1
2+

3
2)OE=t-4．∴OE=
2(t−4)
1+
3=OP=8-t，解得：t=
12+4
3
3，
②当EP=EO时，如图：△OPQ为30°的直角三角形，OQ＝
1
2OP，
1
2(8−t)＝t−4，t＝
16
3．
③当PE=PO时，PE∥OF，PE不与OF相交，故舍去．
综上所述，当t=
12+4
3
3和t＝
16
3时，△OPE为等腰三角．

点评：
本题考点： 解直角三角形的应用；垂线；三角形的面积；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形；勾股定理．

考点点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理等知识的应用，根据已知进行分类讨论得出是此题的难点，应重点掌握．