（2014•鄞州区模拟）已知A（0，0），B（4，0），C（0，3），过线段AB上点D作DG∥BC，交AB于D，交AC于
（2014•鄞州区模拟）已知A（0，0），B（4，0），C（0，3），过线段AB上点D作DG∥BC，交AB于D，交AC于G，过线段DG上的动点P作NF∥AC，分别交AB于N，交BC于F．
（1）如图1，若D是AB的中点，且PN=PG时，求PG的长；
（2）如图2，过P作ME∥AB，交AC于M，交BC于E，当S四边形ANPM=S四边形DBEP=S四边形PFCG时，猜想四边形EFMN的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，分别求出M、N两点的坐标；
（4）如图3，当四边形ANPM、PFCG都是菱形时，作以P为圆心，以PM为半径的⊙P，判断⊙P分别与AB、BC的位置关系，并说明理由．
（1）如图1，若D是AB的中点，且PN=PG时，求PG的长；
（2）如图2，过P作ME∥AB，交AC于M，交BC于E，当S四边形ANPM=S四边形DBEP=S四边形PFCG时，猜想四边形EFMN的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，分别求出M、N两点的坐标；
（4）如图3，当四边形ANPM、PFCG都是菱形时，作以P为圆心，以PM为半径的⊙P，判断⊙P分别与AB、BC的位置关系，并说明理由．
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解题思路：（1）根据勾股定理，可得BC的长，根据三角形的中位线定理，可得DG的长，根据相似三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据矩形的判定定理，可得答案；
（3）根据平行四边的判定与性质，可得AM=MG=GC═1，AN=ND=DB=[4/3]，可得点M、N的坐标；
（4）根据正方形的判定与性质，可得AB是⊙P的切线，根据菱形的性质，可得BC是⊙P的切线．
（2）根据矩形的判定定理，可得答案；
（3）根据平行四边的判定与性质，可得AM=MG=GC═1，AN=ND=DB=[4/3]，可得点M、N的坐标；
（4）根据正方形的判定与性质，可得AB是⊙P的切线，根据菱形的性质，可得BC是⊙P的切线．
（1）BC=
AB2+AC2＝
42+32＝5，
∵DG∥BC，D是AB的中点，∴G是AC的中点，∴DG＝
1
2BC＝
5
2，设PN=PG=x，∵PF∥AC
∴△DPN∽△DGA，
∴[NP/AG＝
DP
DG]，
∴[x
3/2＝
5
2−x
5
2]，解得x=[15/16]，
∴PG=[15/16]；
（2）四边形EFMN是菱形，理由如下：
连接MN、NE、FM，
∴四边形ANPM、DBEP、PFCG都是平行四边形，
∵S四边形ANPM=S四边形DBEP=S四边形PFCG时
∴▱ANPM、▱DNEP、▱PFCG两两等高，
∴EP=PM，PN=PF，
∴四边形EFMN是平行四边形，
在▱ANPM中，∠BAC=90°，
∴▱ANPM是矩形，
∴∠MPN=90°，即EM⊥FN，
∴▱EFMN是矩形；
（3）∵四边形EFMN是平行四边形，
∴MN∥BC，
∵DG∥BC，
∴MN∥DG，
∵四边形ANPM、PGMN、PFCG都是平行四边形，
∴PN=AM，PN=GM，PF=GC．
∵PF=PN，
∴AM=MG=GC═1．
∴同理AN=ND=DB=[4/3]，
∴M(0，1)，N(
4
3，0)；
（4）⊙P与AB、BC都相切，理由如下：
∵四边形ANPM是菱形，∠BAC是直角，则四边形ANPM是正方形，
∴PM=PN，∠PNA=90°，
∴AB是⊙P的切线．
连接PC，作PQ⊥BC垂足为Q，
∵四边形PFCG是菱形，
∴CP平分∠FCG．
∴PM⊥AC，PQ⊥BC，
∴PM=PQ，
∴BC是⊙P的切线．
点评：
本题考点： 圆的综合题．
考点点评： 本题考查了圆的综合题，利用了相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，稍微有点难度，须作出辅助线后解题．
1年前
8
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