设函数f（x）=x3+mln（x+1）

（1）由f（x）=x³+mln（x+1），得f′(x)＝3x2+
m
x+1，x∈(−1，+∞)
由于曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴f′（1）=0，解得m=-6．
（2）∵
1
23+
2
33+
3
43+…+
n−1
n3＜ln(n+1)，(n∈N*)
等价于(
1
22−
1
23)+(
1
32−
1
33)+…+(
1
n2−
1
n3)＜ln(
n+1
n•
n
n−1•…•
2
1)
等价于(
1
22−
1
23)+(
1
32−
1
33)+…+(
1
n2−
1
n3)＜ln(1+
1
1)+ln(1+
1
2)+…+ln(1+
1
n)
令m=1，f（x）=x³+ln（x+1）
设h（x）=x²-f（x）=x²-ln（1+x）-x³
则h'（x）=−3x2+2x−
1
x+1]=−
3x3+(x−1)2
x+1
当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵h（0）=0，
∴当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＜h（0）=0，即x²-ln（x+1）＜x³恒成立．
∵k∈N*，∴[1/k∈(0，+∞)取

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用；数列的求和．

考点点评： 熟练掌握导数的几何意义、通过构造函数利用导数得出其单调性证明不等式、利用y=sinx在[0，1]上单调递增、y＝11+x在[0，1]上单调递减及定积分的意义是解题的关键．

1年前

回答问题