在某点f(x)的左右导数都存在且相等,是f(x)在该点导数存在的充要条件

跳跃间断点的话,那么这个点的函数值最多只可能与左右极限中的一个相等,因此左连续和右连续中至多有一个是成立的,因此左右导数至少有一个是不存在的.
lim[x→x0+] [f(x)-f(x0)]/(x-x0)
lim[x→x0-] [f(x)-f(x0)]/(x-x0)
以上为左右导数的定义,两个定义中均用到f(x0),因此对于跳跃间断点,这两个极限不可能都存在.
你肯定是把“左右导数”与“导函数的左右极限”这两个概念混淆了.
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连续是导数存在的必要条件。不连续自然不可导。

函数在某点可导，则该函数在此点必然连续。函数在某点连续，在此点不一定可导。