如图,两个同心圆中,大圆,小圆的半径长分别为R,r.A,B是大圆上的两点,AMN,BPQ是小圆的割线

过A作AT与小圆相切与T,连接OA、OT.
由割线定理,得：
AM * AN=R^2-r^2；
同理：
BP*BQ=R^2-r^2;

连接AO,BO；过A,B分别作AC切圆O于C,BD切圆O于D，连接CO,DO，则易得AC⊥OC,BD⊥OD.

故在RtΔACO与RtΔBDO中，它们的斜边满足

AO^2=AC^2+OC^2,BO^2=BD^2+OD^2;

∴AC^2=AO^2-OC^2=R^2-r^2,

BD^2=BO^2-OD^2=R^2-r^2,

∴AC^2=R^2-r^2=BD^2

∵AM×AN=AC^2,BP×BQ=BD^2 (切割线定理)

∴AM×AN=AC^2=R^2-r^2=BD^2=BP×BQ

∴AM×AN=BP×BQ=R^2-r^2.

证毕.□