如图，在△ABC中，AB=2，AC="BC=" 5 ．

（1）∵AB的垂直平分线为y轴，
∴OA=OB= AB= ×2=1，
∴A的坐标是（-1，0），B的坐标是（1，0）．
在直角△OAC中， ，
则C的坐标是：（0，2）；
（2）设抛物线的解析式是：y=ax ² +b，
根据题意得： ，解得： ，
则抛物线的解析式是： ；
（3）∵S _△ABC = AB•OC= ×2×2=2，
∴S _△ABD = S _△ABC =1．
设D的纵坐标是m，则 AB•|m|=1，
则m=±1．
当m=1时，-2x ² +2=1，解得：x=± ，
当m=-1时，，-2x ² +2=-1，解得：x=± ，
则D的坐标是：（ ，1）或（- ，1）或（ ，-1），或（- ，-1）．
（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，OA′=1-c，OB′=1+c．
平移以后的抛物线的解析式是：y=-2（x-c） ² +b．
令x=0，解得y=-2c ² +2．即OC′= -2c ² +2．
当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′ ² =OA′•OB′，
则（-2c ² +2） ² =（1-c）（1+c），
即（4c ² -3）（c ² -1）=0，
解得：c= ， （舍去），1， （舍去）．
故平移 或1个单位长度．

（1）根据y轴是AB的垂直平分线，则可以求得OA， OB的长度，在直角△OAC中，利用勾股定理求得OC的长度，则A、B、C的坐标即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）首先求得△ABC的面积，根据S _△ABD = S _△ABC ，以及三角形的面积公式，即可求得D的纵坐标，把D的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标．
（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，可以写出平移以后的函数解析式，当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′ ² =OA•OB，据此即可得到一个关于c的方程求得c的值．