在平面直角坐标系xoy中，设二次函数f（x）=x 2 +2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个不同的交点．经过这三个交
| 在平面直角坐标系xoy中，设二次函数f（x）=x 2 +2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个不同的交点．经过这三个交点的圆记为C． （I）求实数b的取值范围； （II）求圆C的一般方程； （III）圆C是否经过某个定点（其坐标与b无关）？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． |
赞 两生花和三生石 幼苗
共回答了21个问题采纳率：85.7% 举报
（I）令x=0得抛物线与y轴交点是（0，b）；令f（x）=x 2 +2x+b，由题意b≠0，
且△=4-4b＞0，解得b＜1，且b≠0．
即实数b的取值范围 {b|b＜1，且b≠0 }．
（II）设所求圆的一般方程为x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0，则此圆和坐标轴有3个交点，
即f（x）=x 2 +2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴的三个交点．
令y=0得，x 2 +Dx+F=0，由题意可得，这与x 2 +2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．
令x=0得，y 2 +Ey+F=0，由题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得出E=-b-1，
所以圆C的一般方程为x 2 +y 2 +2x-（b+1）y+b=0．
（III）圆C过定点（0，1）和（-2，1）． 证明如下：
法1，直接将点的坐标代入验证，可得点（0，1）和（-2，1）的坐标是
圆的方程x 2 +y 2 +2x-（b+1）y+b=0 的解，
故圆C过定点（0，1）和（-2，1）．
法2，圆C的方程改写为x 2 +y 2 +2x-y-b（y-1）=0，令
x 2 + y 2 +2x-y=0
y=1 ，
解得
x=0
y=1 或
x=-2
y=1 ，故圆C 过定点（0，1）和（-2，1）．
且△=4-4b＞0，解得b＜1，且b≠0．
即实数b的取值范围 {b|b＜1，且b≠0 }．
（II）设所求圆的一般方程为x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0，则此圆和坐标轴有3个交点，
即f（x）=x 2 +2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴的三个交点．
令y=0得，x 2 +Dx+F=0，由题意可得，这与x 2 +2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．
令x=0得，y 2 +Ey+F=0，由题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得出E=-b-1，
所以圆C的一般方程为x 2 +y 2 +2x-（b+1）y+b=0．
（III）圆C过定点（0，1）和（-2，1）． 证明如下：
法1，直接将点的坐标代入验证，可得点（0，1）和（-2，1）的坐标是
圆的方程x 2 +y 2 +2x-（b+1）y+b=0 的解，
故圆C过定点（0，1）和（-2，1）．
法2，圆C的方程改写为x 2 +y 2 +2x-y-b（y-1）=0，令
x 2 + y 2 +2x-y=0
y=1 ，
解得
x=0
y=1 或
x=-2
y=1 ，故圆C 过定点（0，1）和（-2，1）．
1年前
2
可能相似的问题