已知函数f（x）=x+1x．（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性并加以证明．

解题思路：（1）直接由奇偶性的定义看f（-x）和f（x）的关系即可．
（2）可由定义直接判断和证明．先在（0，1]任取两个自变量，做差法比较它们对应函数值的大小，从而判断函数的单调性．也可由导数求解，判断f′（x）的符号即可．

（1）奇函数
定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称
又∵f（-x）=−x+
1
−x＝−(x+
1
x)＝−f(x)
∴函数f（x）=x+
1
x为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数
（2）f（x）在（0，1]上的单调递减
0＜x₁＜x₂≤1，则0＜x₁x₂＜1，x₁-x₂＜0
∴f(x1)−f(x2)＝(x1−x2)+(
1
x1−
1
x2)
=(x1−x2)+(
x2−x1
x1x2)=
(x1−x2)(x1x2−1)
x1x2＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）在（0，1]上的是单调递减函数

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和证明，属基本题型的考查．