如图所示,三角形ABC内接于圆O,过点A的切线交BC的延长线于P,D为AB中点,DP交AC于M.求证：PA^2:PC^2

过D作DE∥AC交BC于E.
∵AD＝BD、DE∥AC,　∴AC＝2DE、BC＝2CE＝2BE,　∴2PC＋BC＝2PC＋2CE,
∴（PC＋BC）＋PC＝2（PC＋CE）,　∴PB＋PC＝2PE,　∴（PB＋PC）/PC＝2PE/PC.
∵MC∥DE,　∴△PDE∽△PMC,　∴PE/PC＝DE/MC,　∴（PB＋PC）/PC＝2DE/MC,
∴（PB＋PC）/PC＝AC/MC＝（AM＋MC）/MC,　∴PB/PC＝AM/MC,
∴PC×PB/PC^2＝AM/MC.······①
∵PA切⊙O于A、PCB是⊙O的割线,　∴由切割线定理,有：PA^2＝PC×PB.······②
由①、②,得：PA^2/PC^2＝AM/MC.