设X1，X2，…，Xn（n＞2）为来自总体N（0，1）的简单随机样本，.X为样本均值，记Yi＝Xi−.X，i＝1，2，…

解题思路：（Ⅰ）先将Y_i表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；
（Ⅱ）求Y₁与Y_n的协方差Cov（Y₁，Y_n），本质上还是数学期望的计算，应注意利用数学期望的运算性质．

由题设，知X₁，X₂，…，X_n（n＞2）相互独立，且EX_i=0，DX_i=1（i=1，2，…，n），E
.
X＝0．
（Ⅰ）DYi＝D(Xi−
.
X)＝D[(1−
1
n)Xi−
1
n
n

j≠iXj]
=(1−
1
n)2DXi+
1
n2
n

j≠iDXj
=
(n−1)2
n2+
1
n2•(n−1)＝
n−1
n．
（Ⅱ） Cov（Y₁，Y_n）=E[（Y₁-EY₁）（Y_n-EY_n）]
=E(Y1Yn)＝E[(X1−
.
X)(Xn−
.
X)]
=E(X1Xn−X1
.
X−Xn
.
X+
.
X2)
=E(X1Xn)−2E(X1
.
X)+E
.
X2
=0−
2
nE[
X21+
n

j＝2X1Xj]+D
.
X+(E
.
X)2
=−
2
n+
1
n＝−
1
n．

点评：
本题考点： 方差的性质及其应用；数学期望的性质及其应用．

考点点评： 本题是随机变量的数字特征综合题，方差与协方差是考察重点，应该重点理解记忆．